Question

如图,在正方形ABCD中,点P在AD上,且不与A、D重合,BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点,垂足为Q,过E作EH⊥AB于H.

(1)求证:HF=AP; 

(2)若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段EQ的长.

第25题

Answer 1

解：(1)证明:设EH与BP交于M点

∵EQ⊥BP，EH⊥AB

∴∠EQM=∠BHM=90°

         又∠EMQ=∠BMH 

            ∴△EMQ∽△BMH

∴∠QEM=∠HBM 

             在Rt△APB与Rt△HFE中，有

        

        ∴△PAB≌△FHE(ASA)

        ∴HF=AP

(2) 由勾股定理得:BP===4

∵EF是BP的垂直平分线

∴BQ=BP=2

∴QF=BQ·tan∠FBQ=BQ·=2·=

由(1)知△PAB≌△FHE

∴EF=BP=4

∴所求的EQ=EF-QF=4-=