Question

已知如图，⊙O中，AE为直径，AD⊥BC
（1）说明：AB•AC=AE•AD；
（2）若AC=5，DC=3，AB=4

2

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）欲证明AB•AC=AE•AD只要证明△ABE∽△ADC即可，连接BE，由AE是⊙O的直径可知∠ABE=90°，所以∠BAE+∠E=90°，再由AD为△ABC的BC边上的高可知∠ADC=90°，故∠E=∠ACB，所以∠BAE=∠CAD则△ABE∽△ADC．
（2）由（1）可知△ABE∽△ADC，利用勾股定理和相似三角形的性质即可求出圆的半径．

解答：证明：连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°．
∴∠BAE+∠E=90°．
∵AD是△ABCBC边上的高，
∴∠ADC=90°．
∴∠CAD+∠ACB=90°．
∵∠E=∠ACB，
∴∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC，
∴

AB

AD

=

AE

AC

，
∴AB•AC=AE•AD；

（2）∵AC=5，DC=3，
∴AD=4，
∵AB=4

2

，
∴

4 2

4

=

AE

5

，
∴AE=5

2

，
∴求⊙O的半径为

5 2

2

．

点评：本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质和相似三角形的判定以及性质，熟知“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”是解答此题的关键．