Question

如图，半径为的⊙O内有互相垂直的两条弦AB，CD相交于P点，
（1）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；
（2）若AB=8，CD=6，求OP的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB⊥CD，
∴∠CPB=90°，即△PBC为直角三角形，
∴∠C+∠B=90°，
∵F为BC的中点，
∴PF=CF=BF，
∴∠C=∠CPF，
又∵∠CPF=∠DPE，
∴∠C=∠DPE，
∴∠DPE+∠B=90°，
又∵∠B=∠D，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴∠PED=90°，即EF⊥AD；

（2）解：连接OB，OD，OP，过O作OH⊥CD，OQ⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴四边形PGOQ为矩形，
∴H、Q分别为CD、AB的中点，
∴QB=4，HD=3，
在Rt△OHD中，HD=3，OD=2，
根据勾股定理得：OH=PQ==，
在Rt△OBQ中，OB=2，QB=4，
根据勾股定理得：OQ=PH==2，
在Rt△OPH中，PH=2，OH=，
根据勾股定理得：OP==．
分析：（1）由AB与CD垂直得到△PBC为直角三角形，进而确定出一对角互余，再由F为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到PF=CF=FB，利用等边对等角得到∠C=∠CPF，根据对顶角相等及等量代换得到∠C=∠DPF，可得出∠DPF与∠B互余，而∠B=∠D，进而确定出∠D与∠DPF互余，即可得证；
（2）连接接OB，OD，OP，过O作OH⊥CD，OQ⊥AB，利用垂径定理得到H与Q分别为CD与AB的中点，由AB与CD的长求出HD与BQ的长，在直角三角形OHD与BOQ中，利用勾股定理求出OH与OQ的长，由四边形PHOQ为矩形，确定出OH与PH的长，在直角三角形OPH中，利用勾股定理即可求出OP的长．
点评：此题考查了垂径定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．