Question

【题目】在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；

（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．

【解析】

（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．

（2）根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定即可找出图中的所有平行四边形．

（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠EDC，

∵E是AC中点，

∴AE＝EC，

在△AEF和△CED中，

，

∴△AEF≌△CED，

∴EF＝DE，∵AE＝EC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴四边形ADCF是矩形．

（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，

∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，

∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．