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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,点HEBC边上,点GFCD边上,连接AFAGAEHFAG垂直平分CFHF分别交AEAG于点MN,∠AEB45°,∠FHC=∠GAE

1)若AFtanFAG,求AN

2)若∠FHC2FAG,求证:AEMN+BE

【答案】1AN3;(2)证明见解析.

【解析】

1)首先证明△FNG是等腰直角三角形,设FGx,则AG4k,利用勾股定理求出x即可解决问题.

2)连接AHAC.作AKAECB速度延长线于K.设ACFHO.利用全等三角形的性质证明NMBK即可解决问题.

1)解:∵∠MHE=∠MAN,∠EMH=∠AMN

∴∠ANM=∠MEH45°

∴∠FNG=∠ANM45°

AGCF

∴∠AGF90°

∴∠GNF=∠GFN45°

GNGF,设GNGFx

tanFAG

AG4x

AF2AG2+FG2

34=(4x2+x2

x或﹣(舍弃),

AN3x3

2)证明:连接AHAC.作AKAECB速度延长线于K.设ACFHO

∵∠KAE90°,∠AEK45°

∴∠K=∠AEK45°

AG垂直平分线段CF

ACAF

∴∠GAC=∠GAF,∠ACF=∠AFC

∵∠FHC2FAG,∠FAC2FAG

∴∠FHC=∠FAC

AHCF四点共圆,

∴∠AHK=∠AFC,∠AHN=∠ACF

∴∠AHK=∠AHN

∵∠K=∠ANH45°AHAH

∴△AHK≌△AHNAAS),

AKAN

ABCDAGCD

AGAB

∴∠GAB=∠KAE90°

∴∠KAB=∠NAM

∴△KAB≌△NAMASA),

BKMN

BE+MNBE+BKEKAE

AEBE+MN

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