【题目】如图,在平行四边形ABCD中,点H,E在BC边上,点G,F在CD边上,连接AF,AG,AE,HF,AG垂直平分CF,HF分别交AE,AG于点M,N,∠AEB=45°,∠FHC=∠GAE.
(1)若AF=,tan∠FAG=,求AN;
(2)若∠FHC=2∠FAG,求证:AE=MN+BE.
【答案】(1)AN=3;(2)证明见解析.
【解析】
(1)首先证明△FNG是等腰直角三角形,设FG=x,则AG=4k,利用勾股定理求出x即可解决问题.
(2)连接AH,AC.作AK⊥AE交CB速度延长线于K.设AC交FH于O.利用全等三角形的性质证明NM=BK即可解决问题.
(1)解:∵∠MHE=∠MAN,∠EMH=∠AMN,
∴∠ANM=∠MEH=45°,
∴∠FNG=∠ANM=45°,
∵AG⊥CF,
∴∠AGF=90°,
∴∠GNF=∠GFN=45°,
∴GN=GF,设GN=GF=x,
∵tan∠FAG=,
∴AG=4x,
∵AF2=AG2+FG2,
∴34=(4x)2+x2,
∴x=或﹣(舍弃),
∴AN=3x=3.
(2)证明:连接AH,AC.作AK⊥AE交CB速度延长线于K.设AC交FH于O.
∵∠KAE=90°,∠AEK=45°,
∴∠K=∠AEK=45°,
∵AG垂直平分线段CF,
∴AC=AF,
∴∠GAC=∠GAF,∠ACF=∠AFC,
∵∠FHC=2∠FAG,∠FAC=2∠FAG,
∴∠FHC=∠FAC,
∴A,H,C,F四点共圆,
∴∠AHK=∠AFC,∠AHN=∠ACF,
∴∠AHK=∠AHN,
∵∠K=∠ANH=45°,AH=AH,
∴△AHK≌△AHN(AAS),
∴AK=AN,
∵AB∥CD,AG⊥CD,
∴AG⊥AB,
∴∠GAB=∠KAE=90°,
∴∠KAB=∠NAM,
∴△KAB≌△NAM(ASA),
∴BK=MN,
∴BE+MN=BE+BK=EK=AE,
即AE=BE+MN.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3交x轴于点A(﹣1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,顶点是D,对称轴交x轴于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线在第四象限内的一点,过点P作PQ∥y轴,交直线AC于点Q,设点P的横坐标是m.
①求线段PQ的长度n关于m的函数关系式;
②连接AP,CP,求当△ACP面积为时点P的坐标;
(3)若点N是抛物线对称轴上一点,则抛物线上是否存在点M,使得以点B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出线段BN的长度;若不存在,请说明理由.
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【题目】新能源汽车环保节能,越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元,今年1~5月份,每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%,今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意,列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
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【题目】在平面直角坐标系中,四边形是矩形,点,点,点.以点为中心,顺时针旋转矩形,得到矩形,点的对应点分别为,记旋转角为.
(1)如图①,当时,求点的坐标;
(2)如图②,当点落在的延长线上时,求点的坐标;
(3)当点落在线段上时,求点的坐标(直接写出结果即可).
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【题目】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD为∠ABC的角平分线,F为AC的中点,AE∥BC交BD的延长线于点E,其中∠FBC=2∠FBD.
(1)求∠EDC的度数.
(2)求证:BF=AE.
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【题目】袋中装有2个红球和2个绿球.
(1)先从袋中摸出1个球后放回,混合均匀后再摸出1个球,求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率;
(2)先从袋中摸出1个球后不放回,再摸出个球,则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是 .(直接填答案)
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1.以下结论:①2a>-b;②4a+2b+c>0;③m(am+b)>a+b(m是大于1的实数);④3a+c<0其中正确结论的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,在矩形中,点为原点,点的坐标为,点的坐标为,抛物线经过点、,与交于点.
备用图
⑴求抛物线的函数解析式;
⑵点为线段上一个动点(不与点重合),点为线段上一个动点,,连接,设,的面积为.求关于的函数表达式;
⑶抛物线的顶点为,对称轴为直线,当最大时,在直线上,是否存在点,使以、、、为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请写出符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
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