Question

9．如图，一次函数y=ax+b（a，b为常数，并且a≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m为常数，且m≠0）的图象交相交于点A（-2，1），B（1，n）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当ax+b＜$\frac{m}{x}$＜0时，自变量x点取值范围．

Answer 1

分析 （1）将A的坐标代入反比例函数求出m的值，然后将B的坐标代入反比例函数求出n的值，然后将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案．
（2）求出直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案．
（3）根据图象即可求出x的取值范围．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m为常数，且m≠0）的图象过点A（-2，1），
∴m=-2×1=-2，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{2}{x}$；
∵点B（1，n）在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$的图象上，
∴n=-2，即点B（1，-2）．
将点A（-2，1）、B（1，-2）代入到y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）得：$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=1}\\{a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-x-1．
（2）设直线AB与y轴交于点C，如图所示：
令y=-x-1中x=0，则y=-1，
∴点C（0，-1），OC=1．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（x_B-x_A）=$\frac{1}{2}$×1×[1-（-2）]=$\frac{3}{2}$．
（3）x＞1 …（10分）
观察函数图象，发现：在x轴的下方，当x＞1时，一次函数图象在反比例函数图形的下方，
∴当ax+b＜$\frac{m}{x}$＜0时，自变量x的取值范围为x＞1．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出A、B两点的坐标，本题属于中等题型．