Question

在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为（0、4）．
（1）将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，得到正方形ODEF，边DE交BC于G．求G点的坐标；
（2）如图，⊙O₁与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O₁于点P，分别交y轴、x轴、线段BC于点M、N、Q．求证：O₁N平分∠MO₁Q．

（3）若H（-4、4），T为CA延长线上一动点，过T、H、A三点作⊙O₂，AS⊥AC交O₂于F．当T运动时（不包括A点），AT-AS是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．

Answer 1

解：（1）连接OG，
∵∠AOD=∠FOC=30°，由轴对称可得∠DOG=∠COG=30°，
又∴OC=4，
∵CG=OC•tan∠COG=4×=，
∴G（4，）；

（2）∵BQ∥AM，
∴∠BQM+∠AMQ=180°，
根据切线长定理，∠O₁QM+∠Q₁MQ=180°×=90°，
∴∠MO₁Q=180°-90°=90°，
由切线长定理∠NO₁Q=45°，
∴O₁M平分∠MO₁Q．

（3）AQ-AF的值是定值为4，
在AT上取点V，使TV=AS，即AT-AS=AV，
∵AS⊥AC，
∴∠THS=∠TAS=90°，
∵H（-4、4），A（0、4），
∴AH⊥AO；
又∵∠OAC=45°，
∴∠TAH=45°，
∵∠THS=∠TAS=90°，
∴∠TSH=45°，
∴HT=HS；
又∠HTV=∠HAS，TV=AS，
∴△HTV≌△HSA，
∴△HAV为等腰直角三角形，
∴AT-AS=AV=，AH=4．
分析：（1）求出旋转角∠AOD、∠FOC的度数为30°，进而求出∠GOC的度数，再利用三角函数求出G点坐标；
（2）由切线长定理证得∠MO₁Q=90°，由切线长定理或其他方法证得∠NO₁Q=45°，O₁N平分∠MO₁Q；
（3）在AT上取点V，使TV=AS，构造出全等三角形△HTV≌△HSA，判断出△HAV为等腰直角三角形，
求得AT-AS=AV=为定值．
点评：（1）此题不仅要熟悉旋转角，还要知道旋转不变性，并联系特殊三角形用勾股定理解答；
（2）运用切割线定理是解答此题的关键；
（3）构造全等三角形，比作辅助线难度要大，但确是一种有效的解题方法．