Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，动点E从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CD方向匀速运动，与此同时，动点F从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线AC方向匀速运动，当点F到达点C时，E，F两点同时停止运动，连结EF，设运动时间为t秒．
（1）当以C，E，F为顶点的三角形与△CDA相似时，求t的值；
（2）当点E关于点F的对称点E′落在△ABC的内部（不包括边上）时，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据速度×时间=路程得：CE=t，AF=2t，分两种情况：
①当∠CEF=90°时，如图1，△CEF∽△CDA，②当∠EFC=90°时，如图2，△CEF∽△CAD；分别列比例式得方程解出即可；
（2）先求出E′落在两边AB和BC上时的时间t的值，再写出E′′落在△ABC的内部（不包括边上）时t的取值范围．
当点E关于点F的对称点E′落在BC上时，如图3，作辅助线构建全等三角形和相似三角形，表示出CG和GE′的长，通过相似列比例式得方程解出即可；
当点E关于点F的对称点E′落在AB上时，如图4，同理得：△EFC≌△E′FA，根据全等三角形对应边相等得等式解出即可．

解答 解：（1）由题意得：CE=t，AF=2t，
当以C，E，F为顶点的三角形与△CDA相似时，有两种情况：
①当∠CEF=90°时，如图1，△CEF∽△CDA，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{CF}{AC}$，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°，DC=AB=8，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴FC=10-2t，
∴$\frac{t}{8}=\frac{10-2t}{10}$，
10t=80-16t，
t=$\frac{40}{13}$，
②当∠EFC=90°时，如图2，△CEF∽△CAD，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{t}{10}=\frac{10-2t}{8}$，
8t=10（10-2t），
t=$\frac{25}{7}$，
∵t=10÷2=5，即0≤t≤5，
综上所述，当以C，E，F为顶点的三角形与△CDA相似时，t的值为$\frac{40}{13}$秒或$\frac{25}{7}$秒；
（2）当点E关于点F的对称点E′落在BC上时，如图3，则EF=E′F，
过E′作E′G∥AB，交AC于G，
∵DC∥AB，
∴E′G∥AB∥DC，
∴∠ECF=∠CGE′，
∵∠EFC=∠E′FG，
∴△EFC≌△E′FG，
∴FG=FC=10-2t，CE=E′G=t，
∴CG=2FC=20-4t，
∵E′G∥AB，
∴△CGE′∽△CAB，
∴$\frac{CG}{AC}=\frac{GE′}{AB}$，
∴$\frac{20-4t}{10}=\frac{t}{8}$，
t=$\frac{80}{21}$；
当点E关于点F的对称点E′落在AB上时，如图4，
同理得：△EFC≌△E′FA，
∴AF=FC，
∴2t=10-2t，
4t=10，
t=2.5，
∴当点E关于点F的对称点E′落在△ABC的内部（不包括边上）时，t的取值范围是2.5＜t＜$\frac{80}{21}$．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形、相似三角形的性质和判定以及中心对称的性质，第1问采用了分类讨论的思想，注意不要漏解；第2问采用了数形结合的思想，要想求t的取值，求出点E′在两边上时的时间t，即可得出结论．