Question

12．如图，AB为半圆O的直径，CD切⊙O于点E，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD²=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S_梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°；⑥若切点E在半圆上运动（A、B两点除外），则线段AD与BC的积为定值．其中正确的个数是（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，根据全等三角形的性质得到∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项①正确；根据相似三角形的性质得比例可得出OD²=DE•CD，选项⑤正确；由△ODE∽△OEC，$\frac{OD}{OC}=\frac{DE}{OE}$，得到OD≠OC，选项③错误；根据射影定理即可得到AD•BC=OE²，于是得到线段AD与BC的积为定值，故⑥正确．

解答 解：连接OE，如图所示：
∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=CD•OA；选项④正确；
在Rt△ADO和Rt△EDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{DA=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
又∵∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；
∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴$\frac{OD}{CD}$=$\frac{DE}{OD}$，即OD²=DC•DE，选项①正确；
同理△ODE∽△OEC，
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{DE}{OE}$，
∴OD≠OC，选项③错误；
∵∠COD=90°，OE⊥CD，
∴OE²=CE•DE，
∵DA=DE，CE=CB，
∴AD•BC=OE²，
∴线段AD与BC的积为定值，故⑥正确．
故选A．

点评 此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．