Question

已知函数y₁=x，y₂=x²+mx+n，x₁、x₂是方程y₁=y₂的两个实根，点P（s，t）在函数y₂的图象上．
（1）若x₁=2，x₂=4，求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，当0≤s≤6时，求t的取值范围；
（3）当0＜x₁＜x₂＜1，0＜s＜1时，试确定t，x₁，x₂三者之间的大小关系．

Answer 1

分析：（1）通过把x₁=2，x₂=4分别代入y₁=y₂，确定m，n的值即可；
（2）首先根据二次函数的对称轴得出s=

5

2

，再利用当0≤s≤

5

2

时，当

5

2

＜s≤6时，分别求出t的取值范围即可；
（3）利用t-x₁=s²+ms-x₁²-mx₁=（s-x₁）（s+x₁+m），t-x₂=s²+ms-x₂²-mx₂=（s-x₂）（s+x₂+m），结合当0＜s≤x₁时，当x₁＜s≤x₂时，当x₂＜s＜1时分别求出t，x₁，x₂三者之间的大小关系即可．

解答：解：（1）∵y₁=x，y₂=x²+mx+n，y₁=y₂，
∴x²+（m-1）x+n=0．将x₁=2，x₂=4分别代入x²+（m-1）x+n=0，
得

4+(m-1)×2+n=0 16+(m-1)×4+n=0

，
解得：

m=-5 n=8

．

（2）由（1）知，y₂=x²-5x+8=（x-

5

2

）²+

7

4

，
∵点P（s，t）在函数y₂的图象上，
∴t=（s-

5

2

）²+

7

4

，
当0≤s≤

5

2

时，
当s=0，t=8，当s=

5

2

，t=

7

4

，
则

7

4

≤t≤8，
当

5

2

＜s≤6时，
当s=

5

2

，t=

7

4

，当s=6，t=14，
则

7

4

＜t≤14，

（3）由已知，得x₁=x₁²+mx₁+n，x₂=x₂²+mx₂+n，t=s²+ms+n．
t-x₁=s²+ms-x₁²-mx₁=（s-x₁）（s+x₁+m），
t-x₂=s²+ms-x₂²-mx₂=（s-x₂）（s+x₂+m），
x₁-x₂=（x₁²+mx₁+n）-（x₂²+mx₂+n）
∴x₁-x₂=（x₁-x₂）（x₁+x₂+m），
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂+m-1）=0，
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂≠0，
∴x₁+x₂+m-1=0，
有x₁+m=1-x₂＞0，
又∵0＜s＜1，
∴s+x₁+m＞0，s+x₂+m＞0，
∴当0＜s≤x₁时，t≤x₁＜x₂，
当x₁＜s≤x₂时，x₁＜t≤x₂，
当x₂＜s＜1时，x₁＜x₂＜t．

点评：本题主要考查了一元二次方程与一次函数及二次函数的相关知识，一元二次方程与函数相结合的综合问题是初中与高中知识衔接的重点内容．对于这类问题，通常需要学生熟悉掌握方程与函数的概念与性质及两者之间的联系．