Question

16．如图1所示，在正方形ABCD中，AB=1，$\widehat{AC}$是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的动点（点E与点A，D不重合），过E作$\widehat{AC}$所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．
（1）求证：EA=EG；
（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）如图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D₁EF，连接AD₁，D₁D，试探索：当点E运动到何处时，△AD₁D与△ED₁F相似？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证出AD是圆B的切线，由切线长定理即可得出结论；
（2）根据切线长定理、正方形的性质得到有关的线段用x，y表示，再根据勾股定理建立函数关系式．
（3）根据切线长定理找到角之间的关系，从而发现正方形，根据正方形的性质得到两个角对应相等，从而证明三角形相似．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90°，AD=CD=AB=1，
∴AD⊥BA，
∴AD是圆B的切线，
∵EG是圆B的切线，
∴EA=EG；

（2）解：∵EF切圆B于点G，
∴EA=EG，FC=FG．
∵AE=x，FC=y
∴EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，
在Rt△DEF中，根据勾股定理，得：（x+y）²=（1-x）²+（1-y）²
∴y=$\frac{1-x}{1+x}$（0＜x＜1）．

（3）解：当点E运动到AD的中点时，△AD₁D与△ED₁F相似；理由如下：
设直线EF交线段DD₁于点H，由题意，得：
△EDF≌△ED₁F，EF⊥DD₁且DH=D₁H．
∵AE=$\frac{1}{2}$，AD=1，
∴AE=ED．
∴EH∥AD₁，∠AD₁D=∠EHD=90°．
又∵∠ED₁F=∠EDF=90°，
∴∠FD₁D=∠AD₁D．
∴D₁F∥AD，
∴∠ADD₁=∠DD₁F=∠EFD=45°，
∴△ED₁F∽△AD₁D．

点评 此题是圆的综合题目，综合运用了切线的判定、切线长定理、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定、折叠的性质、全等三角形的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．