Question

【题目】请阅读下列材料，并完成相应的任务。
阿基米德(Archimedes,公元前287~公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是圆O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）， BC＞AB，M是 的中点，即CD=AB+BD。下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分过程。
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA、MB、MC、MG。因为M是弧ABC的中点，所以MA=MC.
任务：
（1）请按照上面的证明思路，完整证明阿基米德折弦定理，即CD=AB+BD。
（2）如图3，已知等边△ABC内接于圆O，AB=1，D为 上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图2，在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG;

∵M是狐ABC的中点，

∴MA=MC.

在△MBA和△MGC中,

∵

∴△MBA≌△MGC（SAS）,

∴MB=MG,

又∵MD⊥BC,

∴BD=GD

∴DC=GC+GD=AB+BD

（2）解：如图3，截取BF=CD,连接AF,AD,CD;
根据题意可得：AB=AC,∠ABF=∠ACD,
在△ABF和△ACD中
∵
∴△ABF≌△ACD（SAS）
∴AF=AD
∵AE⊥BD
∴FE=DE,则CD+DE=BE
∵∠ABD=45°
∴BE==,
则C△BDC=+1
因此，本题正确答案是+1
【解析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG,再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；
（2）首先证明△ABF≌△ACD（SAS）,进而得出AF=AD,以及CD+DE=BE,进而求出DE的长即可得出答案。
【考点精析】通过灵活运用等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）即可以解答此题．