【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是BC的中点,CE⊥AD,垂足为点E,BF∥AC交CE的延长线于点F.
求证:(1)AC=2BF;
(2)AB垂直平分DF.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)易证∠CDA=∠F,即可证明△ACD≌△CBF,可得CD=BF,易证AC=2CD,即可解题;
(2)连接DF交AB于G点,易证BD=BF,∠ABC=45°,根据△ACD≌△CBF,可求得∠ABF=45°,即可证明∴△DBG≌△FBG,可得DG=FG,∠DGB=∠FGB,即可求得∠DGB=∠FGB=90°,即可解题.
解:(1)∵BF∥AC,∠ACB=90°,
∴∠CBF=∠ACB=90°
∴BC⊥BF,
又∵CE⊥AD,
∴∠DCE+∠F=90°,∠DCE+∠CDA=90°,
∴∠CDA=∠F,
在△ACD和△CBF中, ,
∴△ACD≌△CBF(AAS),
∴CD=BF,
∵点D是BC的中点,
∴BC=2CD=2BF,
又∵AC=BC
∴AC=2BF;
(2)连接DF交AB于G点,
∵点D是BC的中点,
∴AC=2BD,
∵AC=2BF,
∴BD=BF,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠ABC=45°,
∵△ACD≌△CBF,
∴∠CBF=∠ACD=90°,
∴∠ABF=45°,
在△DBG和△FBG中,,
∴△DBG≌△FBG(SAS),
∴DG=FG,∠DGB=∠FGB,
∵∠DGB+∠FGB=180°,
∴∠DGB=∠FGB=90°,
∴AB垂直平分DF.
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【题目】某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°(如图),测量队在山坡上前进600米到D处,再测得树顶的仰角为60°,已知这段山坡的坡角为30°,如果树高为15米,则山高为( )(精确到1米, =1.732).
A. 585米 B. 1014米 C. 805米 D. 820米
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【题目】某中学“书香文化进校园”活动筹备小组准备购买两种类型的毛笔,已知购买一支类型的毛笔比购买一支类型的毛笔多花30元;且购买类型的毛笔80与购买类型的毛笔50支的价格相同.
(1)求两种类型毛笔的单价各是多少?
(2)由于报名人数超过预期,筹备小组决定再次购买两种类型毛笔共50支.然而商店对商品价格进行了调整,类型毛笔售价比第一次购买时提高4元,B类型毛笔售价按第一次购买时售价的9折出售,如果此次购买两种类型毛笔的总费用不超过3150元且保证这次购买的种类型毛笔不少于23支,则这次购买方案有哪几种?
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【题目】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:3+2,善于思考的小明进行了以下探索:
设a+b(其中a、b、m、n均为整数),
则有:a+b,∴a=m2+2n2,b=2mn,这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b,用含m、n的式子分别表示a、b得:a= ,b= ;
(2)利用所探索的结论,用完全平方式表示出:7+4= .
(3)请化简:.
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【题目】小明与小亮玩游戏,如图,两组相同的卡片,每组三张,第一组卡片正面分别标有数字1,3,5;第二组卡片正面分别标有数字2,4,6.他们将卡片背面朝上,分组充分洗匀后,从每组卡片中各摸出一张,称为一次游戏.当摸出的两张卡片的正面数字之积小于10,则小明获胜;当摸出的两张卡片的正面数字之积超过10,则小亮获胜.你认为这个游戏规则对双方公平吗?请说明理由.
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【题目】如图,8个完全相同的小矩形拼成了一个大矩形,AB是其中一个小矩形的对角线,请在大矩形中完成下列画图,要求:①仅用无刻度的直尺;②保留必要的画图痕迹.
(1)在图1中画出一个45°的角,使点A或者点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边.
(2)在图2中画出线段AB的垂直平分线.
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