Question

如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ=．
（1）A点坐标为______，B点坐标为______；
（2）求反比例函数的表达式；
（3）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据坐标轴上点的坐标易得A点坐标为（-4，0）；B点坐标为（0，-2）；
（2）由P为AB的中点，PC⊥x轴，易得OC=OA=2和C点坐标为（-2，0），再根据正切的定义得到=，则QC=1，可确定Q点的坐标为（-2，1），然后把Q（-2，1）代入y=即可求出k的值；
（3）先确定P点坐标（-2，-1），则点Q与点P关于x轴对称，即CQ=CP，又∵OC=AC，OA⊥PQ，根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形即可得到结论．
解答：（1）解：对于y=-x-2，令y=0，则-x-2=0，解得x=-4，∴A点坐标为（-4，0）；
令x=0，则y=-2，所以B点坐标为（0，-2）；
故答案为（-4，0）；（0，-2）；

（2）解：∵P为AB的中点，PC⊥x轴，
∴C为OA的中点，即OC=OA=2，
∴C点坐标为（-2，0），
又∵tan∠AOQ=，
∴=，
∴QC=1，
∴Q点的坐标为（-2，1），
把Q（-2，1）代入y=得k=-2，
∴反比例函数的表达式为y=-；

（3）证明：∵C点坐标为（-2，0），
把x=-2代入y=-x-2得y=-1，
∴P点坐标为（-2，-1），
而Q点的坐标为（-2，1），
∴点Q与点P关于x轴对称，
∴CQ=CP，
又∵OC=AC，OA⊥PQ，
∴四边形APOQ是菱形．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：先根据几何条件确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再运用反比例函数的性质解决问题．也考查了菱形的判定．