Question

如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）设点E（x,y）是抛物线上的一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求□OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当□OEAF的面积为24时，请判断□OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使□OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

．解：（1）由抛物线的对称轴是可设解析式为

把A、B两点坐标代入上式，得

    解之得

所以抛物线的解析式为 

顶点为

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，

∴y<0, 即-y>0, -y表示点E到OA的距离。

∵OA是□OEAF的对角线，

∴S=2S_△OAE=2××OA·∣y∣=-6y

      =

因为抛物线与轴的两个交点的坐标是(1,0)和(6,0)，所以，自变量x的取值范围是1<x<6

    ①根据题意，当S=24时，即②=24，解得：

故所求的点E的坐标有两个，分别为（3，-4）和(4,-4)

点（3，-4）满足OE=OA，∴□OEAF是菱形；

点（4，-4）不满足OE=OA，所以□OEAF不是菱形

②当OA⊥EF，且OA=EF时，□OEAF是正方形，此时点的坐标只能是（3，-3）而坐标（3，-3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使□OEAF为正方形。