Question

8．如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB=10，AD=12，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3），给出四个结论：
①AF的长为10；②△BGH的周长为18；③$\frac{BG}{GF}$=$\frac{2}{3}$；④GH的长为5，
其中正确的结论有①③④．（写出所有正确结论的番号）

Answer 1

分析 过G点作MN∥AB，交AD、BC于点M、N，可知四边形ABEF为正方形，可求得AF的长，可判断①，且△BNG和△FMG为等腰三角形，设BN=x，则可表示出GN、MG、MD，利用折叠的性质可得到CD=DG，在Rt△MDG中，利用勾股定理可求得x，再利用△MGD∽△NHG，可求得NH、GH和HC，则可求得BH，容易判断②③④，可得出答案．

解答 解：如图，过点G作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=12，
由折叠可得AB=BE，且∠A=∠ABE=∠BEF=90°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴AF=AB=10，
故①正确；
∵MN∥AB，
∴△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且MN=AB=10，
设BN=x，则GN=AM=x，MG=MN-GN=10-x，MD=AD-AM=12-x，
又由折叠的可知DG=DC=10，
在Rt△MDG中，由勾股定理可得MD²+MG²=GD²，
即（12-x）²+（10-x）²=10²，解得x=4，
∴GN=BN=4，MG=6，MD=8，
又∠DGH=∠C=∠GMD=90°，
∴∠NGH+∠MGD=∠MGD+∠MDG=90°，
∴∠NGH=∠MDG，且∠DMG=∠GNH，
∴△MGD∽△NHG，
∴$\frac{MD}{GN}$=$\frac{MG}{NH}$=$\frac{DG}{GH}$，即$\frac{8}{4}$=$\frac{6}{NH}$=$\frac{10}{GH}$，
∴NH=3，GH=CH=5，
∴BH=BC-HC=12-5=7，
故④正确；
又△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且BN=4，MG=6，
∴BG=4$\sqrt{2}$，GF=6$\sqrt{2}$，
∴△BGF的周长=BG+GH+BH=4$\sqrt{2}$+5+7=12+4$\sqrt{2}$，$\frac{BG}{GF}$=$\frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}$=$\frac{2}{3}$，
故②不正确；③正确；
综上可知正确的为①③④，
故答案为：①③④．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质及方程思想等．过G点作AB的平行线，构造等腰直角三角形，利用方程思想在Rt△GMD中得到方程，求得BN的长度是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大．