Question

15．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
（1）请猜想：DC与BE的数量关系，并给予证明；
（2）求证：DC⊥BE．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD，得出对应边相等即可；
（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B=∠ACD-45°，进而得出∠DCB=90°，就可以得出结论．

解答 （1）解：DC=BE；
理由如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．
即∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAE=∠CAD}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴DC=BE；

（2）证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠ACD=∠ABE=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴DC⊥BE．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．