Question

14．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3  与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点C，点D 与点C关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m，0），过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q．
（1）求直线BD的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线 l 交 BD 于点M，当△DQB面积最大时，在x轴上找一点E，使QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB的值最小，求E的坐标和最小值．
（3）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点A、B、C的坐标，然后依据轴对称图形的性质可求得点D的坐标，然后依据待定系数法可求得BD的解析式；
（2）设点P 的坐标为（m，0），则点Q（m，$-\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3），M（m，$\frac{1}{2}$m-3），依据△QBD的面积=$\frac{1}{2}$AB•QP列出△QBD的面积与m的函数关系式，利用配方法可求得m的值，从而得到点Q的坐标，过点E作EF⊥BD，垂足为F．先证明EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$BE，则QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB=QE+EF．当点Q、E、F在一条直线上时，QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB有最小值；
（3）当∠QDB=90°时或当∠QBD=90°时，求得求得DQ或BD的解析式，然后求得直线与抛物线的交点坐标即可，当∠BQD=90°时．设点Q的坐标为（x，$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3），则QD²=x²+（$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+6）²，BQ²=（x-6）²+（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3）²，BD²=45，然后依据勾股定理列方程求解即可．

解答 解：（1）当y=0时，$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3=0，解得x₁=6，x₂=-1，
∴A（-1，0）、B（6，0），
当x=0时，y=3，则C（0，3）．
∵点 D 与点 C 关于 x 轴对称，
∴点D为（0，-3）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，将D（0，-3）和B （6，0）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，b=-3．
∴直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-3．
（2）设点P 的坐标为（m，0），则点Q（m，$-\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3），M（m，$\frac{1}{2}$m-3）．
△QBD的面积=$\frac{1}{2}$AB•QP=$\frac{1}{2}$×6×（$-\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3-$\frac{1}{2}$m+3）=-$\frac{3}{2}$（m-2）²+24，
∴当m=2时，△QBD的面积有最大值，此时Q（2，6）．
如图1所示：过点E作EF⊥BD，垂足为F．

在Rt△OBD中，OB=6，OD=3，则BD=3$\sqrt{5}$，
∴tan∠EBF=tan∠OBD=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$BE．
∴QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB=QE+EF．
∴当点Q、E、F在一条直线上时，QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB有最小值．
过点Q作QF′⊥BC，垂足为F′，QF′交OB与点E′．
设QF′的解析式为y=-2x+b，将点Q的坐标代入得：-4+b=6，解得b=10，
∴QF′的解析式为y=-2x+10．
当y=0时，-2x+10=0，解得x=5，
∴点E′的坐标为（5，0）．即点E的坐标为（5，0）时QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB有最小值．
∴QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB的最小值=$\sqrt{（5-2）^{2}+（6-0）^{2}}$=3$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．
（3）当∠QDB=90°时，DQ的解析式为y=-2x-3．
将y=-2x-3与y=$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3联立解得：x=$\frac{9+\sqrt{129}}{2}$或x=$\frac{9-\sqrt{129}}{2}$．
∴点Q的坐标为（$\frac{9+\sqrt{129}}{2}$，-12-$\sqrt{129}$）或（$\frac{9-\sqrt{129}}{2}$，-12+$\sqrt{129}$）
当∠QBD=90°时，DB的解析式为y=-2x+12，
将y=-2x+12与y=$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3联立解得x=3或x=6（舍去）．
∴点Q的坐标为（3，6）．
当∠BQD=90°时．设点Q的坐标为（x，$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3），则QD²=x²+（$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+6）²，BQ²=（x-6）²+（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3）²，BD²=45，
依据勾股定理可知：x²+（$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+6）²+（x-6）²+（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3）²=45，解得：x=6$\frac{1}{3}$或x=6（舍去）．
将x=6$\frac{1}{3}$代入抛物线的解析式得：y=-$\frac{11}{9}$．
∴点Q的坐标为（6$\frac{1}{3}$，-$\frac{11}{9}$）．
综上所述，点Q的坐标为（$\frac{9+\sqrt{129}}{2}$，-12-$\sqrt{129}$）或（$\frac{9-\sqrt{129}}{2}$，-12+$\sqrt{129}$）或（3，6）或（6$\frac{1}{3}$，-$\frac{11}{9}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理、锐角三角函数的定义、二次函数的性质，明确当点Q、E、F在一条直线上时，QE+$\frac{\sqrt{5}}{5}$EB的长度由最小值是解题的关键，依据勾股定理列出关于x的方程是解答问题（3）的关键．