Question

10．如图，在△ABC中，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC边于点D、E，且$\widehat{BE}$=$\widehat{EC}$．
（1）如图1，求证：∠ACB=45°；
（2）如图2，过点A作AF⊥BC于点F，交CD弦于点G，求证：AG=2OF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接GE、GO、DE，若GE⊥GO，⊙O的半径为$\sqrt{5}$，求弦DE的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接BE，只要证明△BEC是等腰直角三角形即可．
（2）如图2中，只要证明△FBA≌△FGC，得FG=BF，根据AG=AF-FG=CF-BF=OC+OF-BF=OB+OF-BF=OF+OF=2OF即可解决问题．
（3）如图3中，作EH⊥AF于H，EM⊥CD于M，连接OE，首先证明∠AEG=90°，△EGO、△DEM是等腰直角三角形、求出EM即可解决问题、

解答 （1）证明：如图1中，连接BE．

∵BC 是直径，
∴∠BEC=90°，
∵$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-90°）=45°．

（2）证明：如图2中，

∵∠ACB=45°，AF⊥BC，
∴∠AFB=∠AFC=90°，
∴∠CAF=45°=∠ACB，
∴AF=CF，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠FGC+∠BCD=90°，
∴∠B=∠FGC，
在△FBA和△FGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠FGC}\\{∠AFB=∠GFC}\\{AF=FC}\end{array}\right.$，
∴△FBA≌△FGC，
∴FG=BF，
∴AG=AF-FG=CF-BF=OC+OF-BF=OB+OF-BF=OF+OF=2OF．

（3）如图3中，作EH⊥AF于H，EM⊥CD于M，连接OE．

∴∠EHA=∠EHG=90°，
∵∠BOE=2∠ACB=90°，∠AFC=90°，
∴四边形EHFO是矩形，
∴EH∥BC，EH=OF，
∴∠AEH=∠ACF=45°，
∴AH=EH=OF，
∵AG=2OF，
∴HG=AH=EH，
∴∠AEH=∠HEG=45°，
∴∠AEG=90°，
∵GE⊥GO，
∴∠OGE=90°，
∴∠FGO=180°-45°-90°=45°，
∴OF=FG=BF，
∵⊙O半径为$\sqrt{5}$，
∴OE=OC=$\sqrt{5}$，
∴CE=$\sqrt{10}$，OG=GE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴tan∠DCE=$\frac{1}{2}$，
∴CM=2EM，
∴EM=$\sqrt{2}$，
∵∠EDM=$\frac{1}{2}$∠EOC=45°，
∴DE=$\sqrt{2}$EM=2．

点评 本题考查圆的综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．