Question

1．在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中，证明CE=CF；
（2）若∠BAD=90°，G是EF的中点（如图2），连结OG，判断OG与BD的位置关系与数量关系，并给出证明；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，连结OG（如图3），判断OG与BD的位置关系与数量关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）欲证明CE=CF，只需根据“等角对等边”得到∠CEF=∠CFE即可；
（2）OG=$\frac{1}{2}$BD，且OG⊥BD．如图2，连接BG，通过证△BGC≌△DGF得到△BDG是等腰直角三角形，则易推知OG=$\frac{1}{2}$BD，且OG⊥BD；
（3）BD=$\sqrt{3}$OG，且OG⊥BD．连接BG，CG，先证明四边形ECFG为菱形，得出∠CFG=60°，△CFG为等边三角形，再证明△DGF≌△BGC，得出BG=DG，∠BGC=∠DGF，得出∠BGD=∠CGF=60°，证出△BDG为等边三角形，即可得出结论．

解答 （1）证明：如图1，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAE=∠DFE，
又∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，
∴∠BAE=∠DAF，
∴∠CEF=∠DFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF；

（2）答：OG=$\frac{1}{2}$BD，且OG⊥BD．
证明：如图2，连接BG，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，
∵∠BAE=∠AEB，
∴∠AEB=45°，AB=BE=DC，
∴∠BEG=135°，
∵∠ECF=∠BCD=90°，G为EF中点，CE=CF，
∴CG=EG=FG，CG⊥EF，∠GCE=∠GCF=45°，
∴∠DCG=90°+45°=135°，
∴∠DCG=∠BEG，
在△BEG和△DCG中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DC}\\{∠BEG=∠DCG}\\{EG=CG}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∵CG⊥EF，
∴∠CGE=90°=∠CGD+∠DGE=∠BGE+∠DGE=∠BGD，
∴∠GDB=∠DBG=45°．
即△BDG是等腰直角三角形，
又∵点O是BD的中点，
∴OG=$\frac{1}{2}$BD，且OG⊥BD；

（3）答：BD=$\sqrt{3}$OG，且OG⊥BD．
证明：如图3，连接BG，CG，如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC=120°，∠BAC=60°，
∴∠DAF=30°，
∵FG∥CE，FG=CE，
∴四边形ECFG是平行四边形，
∵CE=CF，
∴四边形ECFG为菱形，
∴∠CFG=60°，∠CFE=30°=∠DAF，∠ECG=∠FCG=60°，△CFG为等边三角形，
∴CG=GF，∠BCG=∠DFG=60°，AD=FD=BC，
在△DGF和△BGC中，$\left\{\begin{array}{l}{FD=BC}\\{∠DFG=∠BCG=60°}\\{GF=CG}\end{array}\right.$，
∴△DGF≌△BGC（SAS），
∴BG=DG，∠BGC=∠DGF，
∴∠BGD=∠CGF=60°，
∴△BDG为等边三角形，
∴BD=$\sqrt{3}$OG，且OG⊥BD．

点评 本题综合考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．