Question

19．如图，四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC．若CD=3，BD=2$\sqrt{6}$，sin∠DBC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD≌△BAD；
（3）求对角线AC的长．

Answer 1

分析 （1）过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，得到∠E=90°，根据三角形函数的定义得到DE=2$\sqrt{2}$即可得出结论；
（2）先判断出∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB即可得出结论；
（3）先判断出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=$\sqrt{6}$，根据勾股定理得到结论．

解答 解：（1）如图，过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，
则∠E=90°，
∵sin∠DBC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BD=2$\sqrt{6}$，
∴DE=2$\sqrt{2}$，
∵CD=3，
∴CE=1，BE=4，
∴BC=3，

（2）∵BC=3，CD=3
∴BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB，
∵BD=BD，
∴△BCD≌△BAD；

（3）由（2）知，∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
同理AD∥BC，
∴四边形ABCD是菱形，
连接AC交BD于O，
则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=$\sqrt{6}$，
∴OC=$\sqrt{B{C}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了角平分线定理，锐角三角函数，全等三角形的判定，菱形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．