Question

17．某商场经销一种儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是50元，规定销售时单价不能低于进价，每件的利润率不能超过40%．试销过程中发现：销售单价是60元时，月销售量是400件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件．设每件玩具的销售单价为x（元）时，月销售利润为y（元）．（利润=售价-进价）
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件玩具的销售单价为多少元时，每月能获得的利润恰好是5250元？
（3）每件玩具的销售单价为多少元时，每月能获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式；
（2）把y=5250代入（1）的解析式就可以求出结论；
（3）根据（1）的解析式，将其转化为顶点式，根据二次函数的顶点式的性质结合x的取值范围，就可求出最大利润．

解答 解：（1）由题意得：
y=（x-50）[400-10（x-60）]
=-10x²+1500x-50000，
故y与x的函数关系式为：y=-10x²+1500x-50000；

（2）由题意，解方程-10x²+1500x-50000=5250
解这个方程得：x₁=65，x₂=85               
又因为50×（1+40%）=70（元），而x₂=85＞70，不合题意，应舍去，
所以，每件玩具的销售单价为65元时，每月能获得的利润恰好是5250元；

（3）由y=-10x²+1500x-50000=-10（x-75）²+6250，
可知a=-10＜0，对称轴为直线x=75，
所以，当50≤x≤70，y随x的增大而增大
所以，当x=70时，每月能获得的利润最大，
此时，y=-10（x-75）²+6250=6000，
所以，当每件玩具的销售单价为70元时，每月能获得的利润最大，最大利润是6000元．

点评 本题考查了二次函数的解析式的运用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，二次函数的顶点式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．