Question

11．在Rt△ABC中，点P位于直角边AC上，且与点A，C不重合，试过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与原△ABC相似，画出所有可能的图形，并说明理由．

Answer 1

分析 过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作平行线或一个等于△ABC的另一个角，即可得出截得的三角形与原△ABC相似．

解答 解：分四种情况：如图所示：
1、过点P作AB的垂线，垂足为D；如图1所示：
△APD∽△ABC；理由如下：
∵PD⊥AB，
∴∠ADP=90°=∠ACB，
又∠A=∠A，
∴△APD∽△ABC；
2、过点P作PD∥BC交AB于D，如图2所示：
△APD∽△ACB；理由如下：
∵PD∥BC，
∴∠APD=∠ACB，
又∵∠A=∠A，
∴△APD∽△ACB；
3、过点P作AB的平行线，交BC于D，如图3所示：
则△CPD∽△CAB；理由如下：
∵PD∥AB，
∴∠CDP=∠B，
又∵∠C=∠C，
∴△CPD∽△CAB；
4、过点P作∠PDC=∠A，如图4所示：
则△PCD∽△BCA；理由如下：
∵∠PDC=∠A，∠C=∠C，
∴△PCD∽△BCA．

点评 本题主要考查了三角形相似的判定方法；熟练掌握有两个角相等的三角形相似是解决问题的关键，注意有四种情况．