Question

19．如图，E为正方形ABCD边CD上一点，DE=3，CE=1，F为直线BC上一点，直线DF与直线AE交于G，且DF=AE，则DG=$\frac{12}{5}$或$\frac{60}{7}$．

Answer 1

分析 分两种情况：
①由正方形的性质得出∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC=4，由勾股定理求出AE，由HL证明Rt△ADE≌Rt△DCF，得出∠AED=∠DFC，证出∠DGE=90°，由△ADE的面积=$\frac{1}{2}$AE×DG=$\frac{1}{2}$AD×DE，即可求出DG的长；
②如图2所示：同①得：Rt△ADE≌Rt△DCF，得出CF=DE，DF=AE，作GM⊥BC于M，作GN⊥DC于N；证出△GMF∽△DCF，△GNE∽△ADE，得出比例式$\frac{GM}{FM}=\frac{DC}{CF}$，$\frac{GN}{EN}=\frac{AD}{DE}$，设GM=4x，则FM=3x，GF=5x，GN=MC=3+3x，EN=4x+1，解方程求出x，得出GF，即可得出DG的长．

解答 解：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC=3+1=4，AD∥BC，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
在Rt△ADE和Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴∠AED=∠DFC，
∵∠DFC+∠CDF=90°，
∴∠AED+∠CDF=90°，
∴∠DGE=90°，
∵△ADE的面积=$\frac{1}{2}$AE×DG=$\frac{1}{2}$AD×DE，
∴DG=$\frac{AD×DE}{AE}$=$\frac{12}{5}$；
②如图2所示：同①得：Rt△ADE≌Rt△DCF，
∴CF=DE=3，DF=AE=5，
作GM⊥BC于M，作GN⊥DC于N；
则GM∥DC，GN∥AD，
∴△GMF∽△DCF，△GNE∽△ADE，
∴$\frac{GM}{FM}=\frac{DC}{CF}$=$\frac{4}{3}$，$\frac{GN}{EN}=\frac{AD}{DE}$=$\frac{4}{3}$，
设GM=4x，则FM=3x，
∴GF=5x，GN=MC=3+3x，EN=4x+1，
∴$\frac{3x+3}{4x+1}=\frac{4}{3}$，
解得：x=$\frac{5}{7}$，
∴GF=$\frac{25}{7}$，
∴DG=DF+GF=5+$\frac{25}{7}$=$\frac{60}{7}$；
综上所述：DG的长为$\frac{12}{5}$或$\frac{60}{7}$；
故答案为：$\frac{12}{5}$或$\frac{60}{7}$．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要进行分类讨论，特别是②中，需要证明三角形相似才能得出结果．