Question

【题目】如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，过A作AE⊥AD交BC的延长线于点E，M为DE的中点．

（1）求证：ME2＝MCMB；

（2）如果BA2＝BDBE，求证：

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）证明△AMC∽△BMA即可解决问题．

（2）由△AMC∽△BMA，推出＝，推出＝，推出＝，再证明△BAC∽△BMA，推出＝，推出AB2＝BCBM，即可解决问题．

（1）证明：∵AE⊥AD，

∴∠DAE＝90°，

∵DM＝ME，

∴AM＝MD＝ME，

∴∠MAD＝∠MDA，

∴∠MAC+∠DAC＝∠B+∠BAD，

∵∠BAD＝∠CAD，

∴∠MAC＝∠B，

∵∠AMC＝∠AMB，

∴△AMC∽△BMA，

∴＝，

∴AM2＝MCMB，

∵ME＝MA，

∴ME2＝MCMB．

（2）证明：∵△MAC∽△BMA，

∴＝，

∴＝，

∴＝，

∵AB2＝BDBE，

∴＝，

∵∠B＝∠B，

∴△BAD∽△BEA，

∴∠BAD＝∠E，

∵∠AMB＝∠E+∠MAE＝2∠E，∠BAC＝2∠BAD，

∴∠BAC＝∠AMB，∵∠B＝∠B，

∴△BAC∽△BMA，

∴＝，

∴AB2＝BCBM，

∴＝＝．