Question

如图，A和B是高度同为h的圆柱形容器，底面半径分别为r和R，且r＜R．一龙头单独向A注水，用T分钟可以注满容器A．现将两容器在他们高度的一半处用一个细管连通（连通细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向注水A，问2T分钟时，容器A中水的高度是多少？（注：若圆柱体底面积半径为R，高为h，体积为V，则V=πR²h．）

Answer 1

解：由题意：A的体积=πr²h，B的体积=πR²h，
水龙头用T分钟可以注满A．则它的注水速度=，注水2T分钟时注入的水的体积=2πr²h，
它们高度的一半处的两个瓶子的容积之和=πh（r²+R²）．
①当2T分钟时注入的水的体积=2πr²h小于或等于高度的一半处的两个瓶子的容积之和，A容器内水的高度为（注水2T分钟后，容器A中的高度肯定超过了），
2πr²h≤πh（r²+R²），
3r²≤R²，
即当3r²≤R²时，A容器内水的高度为．
②当2t分钟时注入的水的体积=2πr²h大于高度的一半处的两个瓶子的容积之和时，
2πr²h＞πh（r²+R²），
3r²＞R²，
即当3r²＞R²时，
A容器内水的高度等于注入的水的体积除以两个圆柱容器的底面积之和，高度==
①当3r²≤R²时，容器A中水的高度是；
②当3r²＞R²时，容器A中水的高度是．
分析：根据题意由水的总体积等于两个容器内水的体积之和可列出代数式，注意要分两种情况考虑当2T分钟时注入的水的体积小于或等于高度的一半处的两个瓶子的容积之和时是一种关系，当注入的水的体积大于高度的一半处的两个瓶子的容积之和时是一种关系，分别列式求解即可．
点评：本题考查了列代数式及学生从题干中获取信息分析问题解决问题的能力，本题知识面综合性较大，需要学生仔细分析寻找等量关系．