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13.如图,抛物线经过点A(-1,0)和B(0,2$\sqrt{2}$),对称轴为x=$\frac{5}{4}$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线与x轴交于另一个交点为C,点D在线段AC上,已知AD=AB,若动点P从A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的度数匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线BD垂直平分?若存在,求出点Q的运动速度;若不存在,请说明理由.
(3)在(2)的前提下,过点B的直线l与x轴的负半轴交于点M,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形与△PBC相似?如果存在,请直接写出M的坐标;若不存在,请说明理由.

分析 (1)设抛物线的解析式为y=a(x-$\frac{5}{4}$)2+k,(a≠),把点A(-1,0)和B(0,2$\sqrt{2}$)代入,解方程组即可解决问题.
(2)首先求出A、C坐标,由∠DBP=∠DBQ,可得$\frac{PB}{BC}$=$\frac{PD}{CD}$(角平分线的性质定理,可以用面积法证明),即$\frac{\sqrt{8+(t-1)^{2}}}{\frac{9}{2}}$=$\frac{3-t}{\frac{3}{2}}$,解方程即可解决问题.
(3)存在.理由如下:首先证明∠BPC=∠BAM,分两种情形讨论①当$\frac{AM}{PB}$=$\frac{AB}{PC}$,△MAB∽△BPC,列出方程解方程即可.②当$\frac{AM}{PC}$=$\frac{AB}{PB}$时,△MAB∽CPB,列出方程解方程即可.

解答 解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x-$\frac{5}{4}$)2+k,(a≠),
把点A(-1,0)和B(0,2$\sqrt{2}$)代入得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{81}{16}a+k=0}\\{\frac{25}{16}a+k=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4\sqrt{2}}{7}}\\{k=\frac{81}{28}\sqrt{2}}\end{array}\right.$,
∴y=-$\frac{4\sqrt{2}}{7}$(x-$\frac{5}{4}$)2+$\frac{81\sqrt{2}}{28}$,
∴y=-$\frac{4\sqrt{2}}{7}$x2+$\frac{10\sqrt{2}}{7}$x+2$\sqrt{2}$.

(2)令y=0得到-$\frac{4\sqrt{2}}{7}$x2+$\frac{10\sqrt{2}}{7}$x+2$\sqrt{2}$=0,解得x=$\frac{7}{2}$或-1,
∴C($\frac{7}{2}$,0),A(-1,0),AB=$\sqrt{{1}^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}$=3,
∵AD=AB,
∴AD=3,
∴D(2,0),
∵PQ被直线BD垂直平分,
∴BP=BQ,
∴∠DBP=∠DBQ,
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{PD}{CD}$(角平分线的性质定理,可以用面积法证明),
∴$\frac{\sqrt{8+(t-1)^{2}}}{\frac{9}{2}}$=$\frac{3-t}{\frac{3}{2}}$,
∴t=2或$\frac{9}{2}$,
∵t<3,
∴t=2,
∴BP=3,BQ=3,
∴VQ=$\frac{3}{2}$.

(3)存在.理由如下:
由题意P(1,0),PB=3,PC=$\frac{5}{2}$,
∵BA=BP=3,
∴∠BAP=∠BPA,
∴∠BPC=∠BAM,
①当$\frac{AM}{PB}$=$\frac{AB}{PC}$,△MAB∽△BPC,
∴$\frac{AM}{3}$=$\frac{3}{\frac{5}{2}}$,
∴AM=$\frac{18}{5}$,OM=OA+AM=$\frac{23}{5}$
∴M(-$\frac{23}{5}$,0).
②当$\frac{AM}{PC}$=$\frac{AB}{PB}$时,△MAB∽CPB,
∴$\frac{AM}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{3}$,
∴AM=$\frac{5}{2}$,OM=AM+OA=$\frac{7}{2}$,
∴M(-$\frac{7}{2}$,0).

点评 本题考查二次函数综合题、线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.

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