Question

如图，正方形ABCO的边长为

5

，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y轴于点D，且D为B₁C₁的中点，抛物线y=ax²+bx+c过点A₁、B₁、C₁．
（1）求tanα的值；
（2）求点A₁的坐标，并直接写出点B₁、点C₁的坐标；
（3）求抛物线的函数表达式及其对称轴；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB₁C₁为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的知识可知：四边形A₁B₁C₁O为正方形，∴OC₁=B₁C₁，∠OC₁B₁=90°，∠C₁OD=∠AOA₁=α，又∵D是B₁C₁的中点，∴C1D=

1

2

B1C1=

1

2

OC1，∴在Rt△C₁OD中，tanα=

C1D

OC1

=

1

2

．∴tanα的值是

1

2

；
（2）根据三角函数与勾股定理即可求得点A₁的坐标，并直接写出点B₁、点C₁的坐标；要注意方程思想的应用；
（3）将点A₁，B₁，C₁的坐标代入解析式，利用方程组即可求得解析式，再求得对称轴；
（4）一种是与线段B₁C₁垂直的直线：分别过点B₁、C₁；一种是根据直径所对的圆周角是直角求得，以线段B₁C₁为直径作圆，与对称轴的交点即是所求点．

解答：解：（1）∵四边形A₁B₁C₁O为正方形，
∴OC₁=B₁C₁，∠OC₁B₁=90度．
又∵D是B₁C₁的中点，
∴C1D=

1

2

B1C1=

1

2

OC1．
∵由旋转性质可知，∠C₁OD=∠AOA₁=α，
∴在Rt△C₁OD中，tanα=

C1D

OC1

=

1

2

．
∴tanα的值是

1

2

．（2分）

（2）过点A₁作A₁E⊥x轴，垂足为点E．
在Rt△A₁EO中，tanα=

A1E

OE

，
∴

A1E

OE

=

1

2

．
设A₁E=k，则OE=2k，在Rt△A₁EO中，OA1=

5

，
根据勾股定理，得A₁E²+OE²=OA₁²．
即k2+(2k)2=(

5

)2，
解得k₁=-1（舍），k₂=1．
∴A₁E=1，OE=2．
又∵点A₁在第二象限，
∴点A₁的坐标为（-2，1）．（4分）
直接写出点B₁的坐标为（-1，3），点C₁的坐标为（1，2）．（6分）

（3）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A₁，B₁，C₁．
∴

4a-2b+c=1 a-b+c=3 a+b+c=2

解得

a=- 5 6 b=- 1 2 c= 10 3

∴抛物线的函数表达式为y=-

5

6

x2-

1

2

x+

10

3

．（8分）
将其配方，得y=-

5

6

(x+

3

10

)2+

409

120

．
∴抛物线的对称轴是直线x=-

3

10

．（9分）

（4）存在点P，使△PB₁C₁为直角三角形．（10分）
满足条件的点P共有4个：P1(-

3

10

，

22

5

)，P2(-

3

10

，-

3

5

)，P3(-

3

10

，

25+2 29

10

)，P4(-

3

10

，

25-2 29

10

)．（14分）

点评：此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．此题考查了二次函数与一次函数，三角形、四边形的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．