Question

5．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=6，AC=8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是4．

Answer 1

分析 连接CE，根据∠DCE=90°，F是DE的中点，可得CF=$\frac{1}{2}$DE，再根据当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得DE的最小值，即可得出CF的最小值．

解答 解：如图，连接CE，

∵△ABC∽△ADE，
∴∠ACD=∠AEG，
又∵∠AGF=∠DGC，
∴△AGE∽△DGC，
∴$\frac{AG}{DG}$=$\frac{EG}{CG}$，
又∵∠AGD=∠EGC，
∴△AGD∽△EGC，
∴∠ADG=∠ECG，
又∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG=90°，
∴∠ECG+∠ACD=90°，即∠DCE=90°，
∵F是DE的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$DE，
∵△ABC∽△ADE，
∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，
当AD⊥BC时，AD=$\frac{AB×AC}{BC}$=4.8，
∵$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{4.8}{DE}$=$\frac{6}{10}$，
∴DE=8，
∴CF=$\frac{1}{2}$×8=4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上中线的性质的应用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值．