Question

7．已知m为实数，且sinα、cosα是关于x的方程3x²-mx+1=0的两根，则sin⁴α+cos⁴α的值为（　　）

• A． $\frac{2}{9}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{7}{9}$
• D． 1

Answer 1

分析 先利用根与系数的关系得到sinα+cosα=$\frac{m}{3}$，sinα•cosα=$\frac{1}{3}$，再利用锐角三角函数的定义得到sin²α+cos²α=1，然后利用完全平方公式得到sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2sin²α•cos²α，最后利用整体代入的方法计算．

解答 解：根据题意得sinα+cosα=$\frac{m}{3}$，sinα•cosα=$\frac{1}{3}$，
而sin²α+cos²α=1，
sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2sin²α•cos²α=1-2×$\frac{1}{9}$=$\frac{7}{9}$．
故选C．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了锐角三角函数的定义．