Question

9．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO，线段OP，连结BP，动点M在线段AP⊥（点M与点F、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

Answer 1

分析 （1）①根据折叠的性质得到∠APO=∠B=90°，根据相似三角形的判定定理证明△OCP∽△PDA；
②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答；
（2）根据直角三角形的性质得到∠DAP=30°，根据折叠的性质解答即可；
（3）作MQ∥AB交PB于Q，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质得到EF=$\frac{1}{2}$PB，根据勾股定理求出PB，计算即可．

解答 解：（1）①由折叠的性质可知，∠APO=∠B=90°，
∴∠APD+∠OPC=90°，又∠POC+∠OPC=90°，
∴∠APD=∠POC，又∠D=∠C=90°，
∴△OCP∽△PDA；
②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴△OCP与△PDA的相似比为1：2，
∴PC=$\frac{1}{2}$AD=4，
设AB=x，则DC=x，AP=x，DP=x-4，
在Rt△APD中，AP²=AD²+PD²，即x²+8²=（x-4）²，
解得，x=10，即AB=10；
（2）∵点P是CD边的中点，
∴DP=$\frac{1}{2}$DC，又AP=AB=CD，
∴DP=$\frac{1}{2}$AP，
∴∠DAP=30°，
由折叠的性质可知，∠OAB=∠OAP=30°；
（3）EF的长度不变．
作MQ∥AB交PB于Q，
∴∠MQP=∠ABP，
由折叠的性质可知，∠APB=∠ABP，
∴∠MQP=∠APB，
∴MP=MQ，又BN=PM，
∴MQ=BN，
∵MQ∥AB，
∴$\frac{QF}{FB}$=$\frac{MQ}{BN}$，
∴QF=FB，
∵MP=MQ，ME⊥BP，
∴PE=QE，
∴EF=$\frac{1}{2}$PB，
由（1）得，PC=4，BC=8，
∴PB=$\sqrt{P{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴EF=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．