Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△ABE面积的最大值．
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，-m²-3m+4），从而得出OC=-m、OF=-m²-3m+4、BF=-m²-3m，根据S_△ABE=S_梯形AOFE-S_△AOB-S_△BEF得出S=-2（m+2）²+8，据此可得答案；
（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．

解答 解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，4）．
∵点A（-4，0），B（0，4）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：b=-3，c=4，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-3x+4．

（2）如图，连接AE、过点E作EF⊥y轴于点F，

设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，-m²-3m+4），
则OC=-m，OF=-m²-3m+4，
∵OA=OB=4，
∴BF=-m²-3m，
则S_△ABE=S_梯形AOFE-S_△AOB-S_△BEF
=$\frac{1}{2}$×（-m+4）（-m²-3m+4）-$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×（-m）×（-m²-3m）．
=-2m²-8m
=-2（m+2）²+8，
∵-4＜m＜0，
∴当m=-2时，S取得最大值，最大值为8．
即△ABE面积的最大值为8．

（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=-m，CD=AC=4+m，BD=$\sqrt{2}$OC=-$\sqrt{2}$m，
则D（m，4+m）．
∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似
∴△DBE必为等腰直角三角形．
i）若∠BED=90°，则BE=DE，
∵BE=OC=-m，
∴DE=BE=-m，
∴CE=4+m-m=4，
∴E（m，4）．
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴4=-m²-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-3，
∴D（-3，1）；
ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=-$\sqrt{2}$m，
在等腰直角三角形EBD中，DE=$\sqrt{2}$BD=-2m，
∴CE=4+m-2m=4-m，
∴E（m，4-m）．
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴4-m=-m²-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-2，
∴D（-2，2）．
综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（-3，1）或（-2，2）．

点评 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．