Question

【题目】如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，AD=AE，连接DC，点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点,

(1)观察猜想：如图 1 中，△PMN 是 三角形；

(2)探究证明：把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD， CE．判断△PMN 的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：将△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请求△PMN 面积的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)等腰直角三角形；(2)见解析；(3)≤S△PMN≤.

【解析】

（1）由AB=AC，AD=AE可得BD=CE，由点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC的中点可得MP=PN，由MP∥AC，NP∥AB可知∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠ABC=45°，

进而可求出∠MPN=90°，即可证明△PMN是等腰直角三角形；（2）根据SAS可证明△ABD≌△ACE即可证明BD=CE，∠ABD=∠ACE，由点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC的中点可得MP=PN，由MP∥AC，NP∥AB可知∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，进而可证明∠PMN=90°，即可证明△PMN是等腰直角三角形；（3）由△PMN是等腰直角三角形可得S△PMN=BD2，根据三角形的三边关系即可得出△PMN 面积的取值范围．

（1）∵AB=AC，AD=AE

∴BD=CE

∵点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点

∴MP=EC，NP=BD，MP∥AC，NP∥AB

∴MP=NP

∴△PMN 是等腰三角形

∵∠A=90°，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=45°

∵MP∥AC，NP∥AB

∴∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠ABC=45°

∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=45°+∠ACB﹣∠ACB=90°﹣∠ACD

∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+90°﹣∠ACD=90°

∴△PMN 是等腰直角三角形

（2）∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAD=∠CAE

∵AB=AC，AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE

∵点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点

∴MP=EC，NP=BD，MP∥EC，NP∥DB

∴MP=NP

∴△PMN 是等腰三角形

∵∠A=90°，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=45°

∵MP∥AC，NP∥AB

∴∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC

∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACB﹣∠ACD=∠DBC+45°﹣∠ACD

∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠DBC+45°﹣∠ACD+∠ACD+∠AC E=∠DBC+45°+∠ABD=∠ABC+45°=90°

∴△PMN 是等腰直角三角形

（3）∵△PMN 是等腰直角三角形

∴S△PMN=PN2=×（BD）2=BD2．

∵将△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，

∴当点 D 在 AB 上时，BD 最短，此时 BD=AB﹣AD=6

当点 D 在 BA 的延长线上时，BD 最长，此时 BD=AB+AD=14

∴≤S△PMN≤.