Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以边BC为直径作⊙O，交AB于D，DE是⊙O的切线，过点B作DE的垂线，垂足为E．

(1)求证∠ABC＝∠ABE；

(2)求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：(1)、连接OD，根据切线的性质以及BE⊥DE得出OD∥BE，结合OD=OB得出∠ABC=∠ABE；(2)、连接CD，根据题意得出△BDC和△BCA相似，从而得出BD的长度，然后根据△DEB和△ACB相似得出DE的长度．

详解：（1）证明：连接OD，∵DE是⊙O的切线；∴OD⊥DE， ∵BE⊥DE，∴OD∥BE，

∴∠EBD=∠ODB，∵OD=OB， ∴∠ODB=∠ABC， ∴∠ABC=∠ABE；

（2）连接CD，在Rt△ABC中,AC=3，BC=4，∴AB=5， ∵⊙O的半径，∴∠CDB=90°，

∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠CDB， ∵∠B=∠B， ∴△BDC∽△BCA，

∴，即， ∴BD= ， ∵∠ACB=∠DEB=90°，∠ABC=∠ABE，

∴△DEB∽△ACB， ∴，即 ， ∴DE=．