Question

【题目】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点为(2，0)．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有（ ）

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据题意可知一元二次方程ax2+bx+c=p（p＞0）的根应为整数，通过抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为（2，0）．可以画出大致图象判断出直线y=p（0＜p≤-9a），观察图象当0＜y≤-9a时，抛物线始终与x轴相交于（-4，0）于（2，0）．故自变量x的取值范围为-4＜x＜2．所以x可以取得整数-3，-2，-1，0，1，共5个．由于x=-3与x=1，x=-2与x=0关于对称轴直线x=-1对称，所以x=-3与x=1时对应一条平行于x轴的直线，x=-2与x=0时对应一条平行于x轴的直线，x=-1时对应一条平行于x轴且过抛物线顶点的直线，从而确定y=p时，p的值应有3个．

解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=-1，

∴=-1，解得b=2a．

又∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0）．

把（2，0）代入y=ax2+bx+c得，0=4a+4a+c，

解得，c=-8a．

∴y=ax2+2ax-8a（a＜0），

对称轴h=-1，最大值k==-9a．如图所示，

顶点坐标为（-1，-9a），

令ax2+2ax-8a=0，

即x+2x-8=0，

解得x=-4或x=2，

∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（-4，0）与（2，0）．

∴ax2+bx+c=p

即常函数直线y=p，由p＞0，

∴0＜y≤-9a，

由图象得当0＜y≤-9a时，-4＜x＜2，其中x为整数时，x=-3，-2，-1，0，1，

∴一元二次方程ax2+bx+c=p（p＞0）的整数解有5个．

又∵x=-3与x=1，x=-2与x=0关于直线x=-1轴对称，

当x=-1时，直线y=p恰好过抛物线顶点．

所以p值可以有3个．

故选：B．