Question

7．如图1，△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，∠BCA=90°，A（-1，-1），AC交x轴于D点，AB交y轴于E点，连接ED．
（1）求B点的坐标；
（2）求证：∠CDB=∠ADE；
（3）如图2，P为线段CD上一点，过P点作x轴的平行线交BC于N，交AB的延长线于M，求PM+PN的值；
（4）如图3，过E作EF∥BC交AC于F，求EF的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AF⊥y轴于F，只要证明△ACF≌△CBO，可得AF=OC，CF=OB，由A（-1，-1），推出AF=OF=OC=1，OB=CF=2，由此即可解决问题．
（2）如图1中，将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△AMN，只要证明△DAN≌△DAE，可得∠ADN=∠ADE，由∠ADN=∠CDB，推出∠CDB=∠ADE．
（3）由题意直线AC的解析式为y=2x+1，设P（m，2m+1），想办法求出点M、N的坐标，求出PN、PM即可解决问题．
（4）求出点E坐标，求出AE、AB、BC，根据EF∥BC，得$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，作AF⊥y轴于F，

∵∠ACB=∠AFC=∠BOC=90°，
∴∠ACF+∠BCO=90°，∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠BCO=∠CAF，
在△ACF和△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠BCO}\\{∠AFC=∠BOC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBO，
∴AF=OC，CF=OB，
∵A（-1，-1），
∴AF=OF=OC=1，OB=CF=2，
∴B（2，0）．

（2）如图1中，将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△AMN，
∵∠AMO=∠AFO=∠MOF=90°，
∴四边形AMOF是矩形，
∵AM=AF，
∴四边形AMOF是正方形，
∵∠CAB=45°，
∴∠EAF+∠MAD=45°=∠NAM+∠MAD=∠NAD，
∴∠NAD=∠EAD，
在△ADN和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠DAN=∠DAE}\\{AN=AE}\end{array}\right.$，
∵△DAN≌△DAE，
∴∠ADN=∠ADE，
∵∠ADN=∠CDB，
∴∠CDB=∠ADE．

（3）如图2中，

∵A（-1，-1），C（0，1），
∴直线AC的解析式为y=2x+1，设P（m，2m+1），
∵C（0，1），B（2，0），
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∵PM∥x轴，
∴点N与点P的纵坐标相同，2m+1=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴x=-4m，
∴N（-4m，2m+1），
∵A（-1，-1），B（2，0），
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
∵PM∥x轴，
∴点M与点P的纵坐标相同，2m+1=$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
∴x=6m+5，
∴M（6m+5，2m+1），
∴PN=-5m，PM=5m+5，
∴PN+PM=-5m+5m+5=5．

（4）如图3中，

由（3）可知，直线AB的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
∴E（0，-$\frac{2}{3}$），
∵A（-1，-1），B（2，0），C（0，1），
∴AE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，AB=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{5}$，
∵EF∥BC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{EF}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{3}}{\sqrt{10}}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、一次函数的应用、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会利用一次函数求交点坐标，属于中考压轴题．