【题目】如图,在⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若tanA=,探究线段AB和BE之间的数量关系,并证明;
(3)在(2)的条件下,若OF=1,求圆O的半径.
【答案】(1)答案见解析;(2)AB=3BE;(3)3.
【解析】试题分析:(1)先判断出∠OCF+∠CFO=90°,再判断出∠OCF=∠ODF,即可得出结论;
(2)先判断出∠BDE=∠A,进而得出△EBD∽△EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出结论;
(3)设BE=x,则DE=EF=2x,AB=3x,半径OD=x,进而得出OE=1+2x,最后用勾股定理即可得出结论.
试题解析:(1)证明:连结OD,如图.∵EF=ED,∴∠EFD=∠EDF.∵∠EFD=∠CFO,∴∠CFO=∠EDF.∵OC⊥OF,∴∠OCF+∠CFO=90°.∵OC=OD,∴∠OCF=∠ODF,∴∠ODC+∠EDF=90°,即∠ODE=90°,∴OD⊥DE.∵点D在⊙O上,∴DE是⊙O的切线;
(2)线段AB、BE之间的数量关系为:AB=3BE.证明如下:
∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO=∠BDE.∵OA=OD,∴∠ADO=∠A,∴∠BDE=∠A,而∠BED=∠DEA,∴△EBD∽△EDA,∴.∵Rt△ABD中,tanA==,∴=,
∴AE=2DE,DE=2BE,∴AE=4BE,∴AB=3BE;
(3)设BE=x,则DE=EF=2x,AB=3x,半径OD=x.∵OF=1,∴OE=1+2x.
在Rt△ODE中,由勾股定理可得:(x)2+(2x)2=(1+2x)2,∴x=﹣(舍)或x=2,∴圆O的半径为3.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+3过点A(5,m)且与y轴交于点B,把点A向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到点C.过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D.
(1)求直线CD的解析式;
(2)直线AB与CD交于点E,将直线CD沿EB方向平移,平移到经过点B的位置结束,求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围.
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【题目】已知:如图所示,在ΔABC和ΔADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,,且点B,A,D在同一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点, 连接AM,AN,MN.
⑴.求证:BE=CD
⑵.求证:ΔAMN是等腰三角形.
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【题目】已知坐标原点为,点,将绕原点顺时针旋转后,的对应点的坐标是( )
A. (2,-1) B. (-2,1) C. (1,-2) D. (-1,2)
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【题目】观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题
在锐角△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,过A作AD⊥BC于D(如图(1)),则sinB=,sinC=,即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即,同理有:,,所以.
即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.
根据上述材料,完成下列各题.
(1)如图(2),△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,BC=60,则∠A= ;AC= ;
(2)自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来,我国政府灵活应对,现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻.某次巡逻中,如图(3),我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上,随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上,求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB.(结果精确到0.01,≈2.449)
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【题目】如图,已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上,且AB=AC,AD∥BE,∠GBE的平分线与AD交于点D,连接CD.
(1)求证:AB=AD;
(2)求证:CD平分∠ACE.
(3)猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系?并对你的猜想加以证明.
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