Question

如图，直线l与x轴、y轴分别交于点M（8，0）点N（0，6），点P以每秒3个单位长度的速度沿NO由N向O运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿MN由M向N运动．已知点P，Q同时出发，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当四边形PQMO为梯形时，求t的值；
（2）当△PQO为等腰三角形时，求t的值；
（3）在整个运动中，以PQ为直径的圆能否与x轴相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当PQ∥OM时，四边形PQMO为梯形
此时有，
即，
解得：t=1，
所以，当t=1秒时，四边形PQMO为梯形．


（2）P点的坐标为（0，6-3t），
Q点的坐标为（8-4t，3t），
△PQO为等腰三角形；
当PO=OQ时，作OH⊥x轴于点H，
在Rt△OQH中，有（6-3t）²=（8-4t）²+（3t）²，
此时方程无实数根，故此种情况不存在；
当PQ=OQ时，此时Q在OP的垂直平分线上，
所以P点的纵坐标是Q点纵坐标的2倍，
即有6-3t=2×3t，
解得t=，
当t=秒时，△PQO为等腰三角形；
当PO=PQ时，作QG⊥y轴于点G．
在Rt△PGQ中，有（6-3t）²=（8-4t）²+（6-3t-3t）²，
此时方程无实数根，故此种情况不存在．


（3）若以PQ为直径的⊙A与x轴相切点T，连接AT，作QB⊥x轴于点B，
则AT=R=（OP+QB）=PQ，
即OP+QB=PQ，
所以[（6-3t）+3t]²=（8-4t）²+（6-3t-3t）²，
解得：t₁=，t₂=2，
所以当t₁=，t₂=2时，以PQ为直径的圆与x轴相切．

分析：（1）当PQ∥OM时，四边形PQMO为梯形时，此时△NPQ∽△NOM，利用相似三角形的性质，对应边成比例，可以求出t的值．
（2）当△PQO为等腰三角形时，可以是PO=OQ，也可以是PQ=OQ，因此解题时，要分两种情况进行讨论，列出关于t的方程，解方程，进而确定t的值．
（3）先假设能相切，根据切线的性质，连接切点和圆心，得到垂直关系，进而得到关于t的方程，解方程，若方程有解，则存在，若方程无解，则不存在．
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．