Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E是BC上一动点（不与B、C重合），且DF⊥AE，垂足为F. 设AE=xcm，DF=ycm.

小题1:求证：△DFA∽△ABE；
小题2:试求y与x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围.

Answer 1

小题1:略
小题2:

（1）要求△ABE∽△DFA，能看出有一对直角相等，只需要再找一对角相等，因为四边形ABCD是长方形，那么就出现平行线，有线的平行可得出一对内错角相等，故可证两三角形相似。
（2）由（1）的相似，可得到比例线段，就可得出x与y的关系式，通过观察图可以知道，AE最小大于AB，最大小于AC，再由勾股定理可求出AC的值，因此可得x的取值范围。
解答：
（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，∠ABE=90°．
∴∠DAF=∠AEB．
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°
∴∠ABE=∠DFA
∴△ABE∽△DFA。
（2）∵△ABE∽△DFA，
∴AB/AE=DF/AD
∴3/X=Y/4
∴xy=12．
∴y=12/X
根据图可知，AE最小大于AB，最大小于AC，
∵AC²=AB²+BC²
∴AC=5．
∴3＜x＜5。