Question

16．如图，抛物线y₁=a（x+2）²-3与y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y₂的值总是正数；②a=$\frac{2}{3}$；③当x=0时，y₂-y₁=6；④AB+AC=10；其中正确结论的个数是（　　）

• A． ①②④
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据与y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1的图象在x轴上方即可得出y₂的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y₁=a（x+2）²-3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出y₂-y₁的值；根据两函数的解析式求出A、B、C的坐标，计算出AB与AC的长，即可得到AB+AC的值．

解答 解：①∵抛物线y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论x取何值，y₂的值总是正数，故本结论正确；

②把A（1，3）代入y₁=a（x+2）²-3得，3=a（1+2）²-3，
解得a=$\frac{2}{3}$，故本结论正确；

③∵y₁=$\frac{2}{3}$（x+2）²-3，y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1，
∴当x=0时，y₁=$\frac{2}{3}$（0+2）²-3=-$\frac{1}{3}$，y₂=$\frac{1}{2}$（0-3）²+1=$\frac{11}{2}$，
∴y₂-y₁=$\frac{11}{2}$-（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{35}{6}$≠6，故本结论错误；

④∵物线y₁=a（x+2）²-3与y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1交于点A（1，3），
∴y₁的对称轴为x=-2，y₂的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3），
∴AB=6，AC=4，
∴AB+AC=10，故结论正确．
故选A．

点评 本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．