【题目】已知:BF为△ABC的外角∠ABE的平分线,D为BF上一点,且AD=CD.
(1)如图1,过点D作DH⊥CE于点H,若AB=8,BC=6,求BH的长.
(2)如图2,若∠ABC=24°,∠ABD=78°,∠BAD=60°,求∠BAC的度数.
【答案】(1)BH=1;(2)∠BAC=48°.
【解析】
(1)过D作DM⊥AB于M,由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DM=DH,利用HL即可判定Rt△ADM≌Rt△CDH,得到AM=CH,易证Rt△DBM≌Rt△DBH,得到BM=BH,然后利用AB=AM+BM,CH=BC+BH即可求出BH;
(2)过D作DH⊥CE于H,DM⊥AB于M,由角平分线的性质定理可得DM=DH,利用HL即可判定Rt△ADM≌Rt△CDH,得到∠DCH=∠BAD=60°,再根据等边对等角可得∠DAC=∠DCA,△ABC中,利用三角形内角和定理即可求出∠BAC.
解:(1)过D作DM⊥AB于M,如图所示,
∵BF平分∠ABE,DH⊥CE,DM⊥AB,
∴DM=DH
在Rt△ADM和Rt△CDH中,
∴Rt△ADM≌Rt△CDH(HL)
∴AM=CH
在Rt△DBM和Rt△DBH中,
∴Rt△DBM≌Rt△DBH(HL)
∴BM=BH
又∵AB=AM+BM,CH=BC+BH
∴AB=BC+2BH
∴BH=
(2)过D作DH⊥CE于H,DM⊥AB于M,
∵BF平分∠ABE,DH⊥CE,DM⊥AB,
∴DM=DH
在Rt△ADM和Rt△CDH中,
∴Rt△ADM≌Rt△CDH(HL)
∴∠DCH=∠BAD=60°
∵AD=CD
∴∠DAC=∠DCA
∴∠DCA=∠BAC+60°,
在△ABC中,∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,
即∠BAC+∠BAC+60°+∠ABC=180°
∴2∠BAC=180°-60°-24°=96°
∴∠BAC=48°.
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【题目】某公司销售某一种新型通讯产品,已知每件产品的进价为4万元,每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元.在销售过程中发现,月销售量夕(件)与销售单价x (万元)之间存在着如图所示的一次函数关系、
(1)求y关于x的函数关系式(直接写出结果)
(2)试写出该公司销售该种产品的月获利z(万元)关于销售单价x(万元)的函数关系式、当销售单价x为何值时,月获利最大?并求这个最大值(月获利一月销售额一月销售产品总进价一月总开支)
(3)若公司希望该产品一个月的销售获利不低于5万元,借助(2)中函数的图象,请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下,要使产品销售量最大,你认为销售单价应定为多少万元
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【题目】如图是放在地面上的一个长方体盒子,其中AB=18cm,BC=12cm,BF=10cm,点M在棱AB上,且AM=6cm,点N是FG的中点,一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为( )
A.20cmB.2cmC.(12+2)cmD.18cm
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【题目】如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A=60°,求BC的长;
(2)若sinA=,求AD的长.
(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
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【题目】如图,在△ABC中,AB=2,BC=4,其两条外角平分线AD、CD交于点D,且∠ADC=45°,连接BD交AC于点P,过点P作PE⊥AC交BC于点F,交AB的延长线于点E.
(1)求证:∠ABC=90° ;
(2)求S△PFC:S△PBF的值.
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【题目】如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的大小;
(2)若CD=3,求DF的长.
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【题目】设a,b,c是△ABC的三条边,关于x的方程x2+x+c-a=0有两个相等的实数根,方程3cx+2b=2a的根为x=0.
(1)试判断△ABC的形状;
(2)若a,b为方程x2+mx-3m=0的两个根,求m的值.
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【题目】如图,在△ABC的边AB,AC的外侧分别作等边△ABD和等边△ACE,连接DC,BE.
(1)求证:DC=BE;
(2)若BD=3,BC=4, BD⊥BC于点B,请求出△ABC的面积.
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