Question

如图，设半圆的圆心O在直角△ABC的斜边AB上，且与两直角边相切于D、E，若△ABC的面积为S，斜边长为c，则圆的半径为______．

Answer 1

连OD，OE，OC，如图，
∵D，E为切点，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
设AC=b，BC=a，OD=OE=R，
∵S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC，
∴

1

2

bR+

1

2

aR=S，
∴a+b=

2S

R

，
又∵a²+b²=c²，
∴（a+b）²=c²+2ab，
∴a+b=

c2+4S

，
∴

2S

R

=

c2+4S

，
∴R=

2S

c2+4S

．
故答案为：

2S

c2+4S

．