Question

5．（1）如图①，在∠A内部有一点P，连接BP，CP，求证∠P=∠B+∠A+∠C．李敏同学给出了如下证法：延长BP交AC于点D，因为∠BDC为△ABD的一个外角，所以∠BDC=∠A+∠B，同理∠BPC=∠C+∠BDC，所以∠BPC=∠A+∠B+∠C．请你给出另一种证法．
（2）如图②，利用上面的结论，你能求出五角星五个“角”的和吗？
（3）如图③，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间有什么等量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的外角的性质，判断出∠BPD=∠BAP+∠B，∠CPD=∠CAP+∠C，据此判断出∠BPC=∠A+∠B+∠C即可．
（2）首先由（1）的结论，推得∠BPC=∠A+∠B+∠C，再根据∠DPE和∠BPC是对顶角，推得∠DPE=∠BPC；然后根据三角形的内角和定理，推得∠DPE+∠D+∠E=180°，据此判断出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，即五角星五个“角”的和是180°．
（3）猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间的数量关系为：∠4+∠5=∠1+∠2+∠3+∠A．首先由（1）的结论，推得∠4=∠1+∠BAD+∠ADP，∠5=∠3+∠CAD+∠ADG；然后把两边分别求和，即可推得∠4+∠5=∠1+∠2+∠3+∠A．

解答 （1）证明：如图①，连接AP，并延长至点D，，
∵∠BPD为△ABP的一个外角，
∴∠BPD=∠BAP+∠B，
同理∠CPD=∠CAP+∠C，
∴∠BPD+∠CPD=∠BAP+∠CAP+∠B+∠C=∠A+∠B+∠C，
又∵∠BPD+∠CPD=∠BPC，
∴∠BPC=∠A+∠B+∠C．

（2）解：如图②，BE、CD交于点P，，
由（1），可得
∠BPC=∠A+∠B+∠C，
∵∠DPE和∠BPC是对顶角，
∴∠DPE=∠BPC，
∵∠DPE+∠D+∠E=180°，
∴∠BPC+∠D+∠E=180°，
又∵∠BPC=∠A+∠B+∠C，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，
即五角星五个“角”的和是180°．

（3）解：猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间的数量关系为：∠4+∠5=∠1+∠2+∠3+∠A．
如图③，连接AD，，
由（1），可得
∠4=∠1+∠BAD+∠ADP，
∠5=∠3+∠CAD+∠ADG，
∴∠4+∠5=∠1+∠3+（∠BAD+∠CAD）+（∠ADP+∠ADG）
=∠1+∠3+∠A+∠2
=∠1+∠2+∠3+∠A
∴∠4+∠5=∠1+∠2+∠3+∠A．

点评 （1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．