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    如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
    （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
    （2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
    （3）在（2）中：
    ①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
    ②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

    【答案】分析：（1）需证△AMB≌△DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形；
    （2）可证△BPM∽△CQP，，PC=x，MQ=y，BP=4-x，QC=4-y，，即可得出y=-x+4；
    （3）应考虑四边形ABPM和四边形MBPD均为平行四边形，四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形时的情况；由（2）中的函数关系，可得当y取最小值时，x=PC=2，P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，∠CPQ=30°，∠PQC=90°．
    解答：（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
    ∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．（1分）
    ∵M是AD中点，
    ∴AM=MD．
    ∵AD∥BC，
    ∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
    ∴△AMB≌△DMC．（2分）
    ∴AB=DC．
    ∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

    （2）解：在等边△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
    ∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
    ∴∠BMP=∠QPC．（4分）
    ∴△BPM∽△CQP．
    ∴．（5分）
    ∵PC=x，MQ=y，
    ∴BP=4-x，QC=4-y．（6分）
    ∴．
    ∴y=-x+4．（7分）


    （3）解：①当BP=1时，则有BPAM，BPMD，
    则四边形ABPM为平行四边形，
    ∴MQ=y=×32-3+4=．（8分）
    当BP=3时，则有PCAM，PCMD，
    则四边形MPCD为平行四边形，
    ∴MQ=y=×12-1+4=．（9分）
    ∴当BP=1，MQ=或BP=3，MQ=时，
    以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．此时平行四边形有2个．（10分）
    ②△PQC为直角三角形．（11分）
    ∵y=（x-2）2+3，
    ∴当y取最小值时，x=PC=2．（12分）
    ∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
    ∴∠CPQ=30°，
    ∴∠PQC=90°．
    ∴△PQC是直角三角形．（13分）
    点评：本题考查平行四边形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性质的应用．
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    11、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，则S△AOD
    =
    S△BOC．（填“＞”、“=”或“＜”）

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    精英家教网已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=CD=10．
    求：梯形ABCD的周长．

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    精英家教网如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线BD⊥DC．
    （1）求证：△ABD∽△DCB；
    （2）若BD=7，AD=5，求BC的长．

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    20、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，并且AB=8，AD=3，CD=6，并且∠B+∠C=90°，则梯形面积S梯形ABCD=
    38.4
    ．

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    精英家教网如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，以CD为直径的半圆O切AB于点E，这个梯形的面积为21cm2，周长为20cm，那么半圆O的半径为（　　）
    A、3cmB、7cmC、3cm或7cmD、2cm

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