Question

如图（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．
（1）试说明：FG=

1

2

（AB+BC+AC）；
（2）①如图（2），BD、CE分别是△ABC的内角平分线；②如图（3），BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线．
则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，得到∠BAF=∠BMF，进一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，即可得出答案；
（2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，与（1）类似可以证出答案；
（3）与（1）方法类同即可证出答案．

解答：解：（1）证明：∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF，
∴MB=AB，
∴AF=MF，
 同理可说明：CN=AC，AG=NG 
∴FG是△AMN的中位线，
∴FG=

1

2

MN=

1

2

（MB+BC+CN）=

1

2

（AB+BC+AC）  

（2）解：图（2）中，FG=

1

2

（AB+AC-BC）    
图（3）中，FG=

1

2

（AC+BC-AB）     
①如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，
由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，
∴FG=

1

2

MN=

1

2

（BM+CN-BC）=

1

2

（AB+AC-BC），
②如图（3）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，同样由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，
∴FG=

1

2

MN=

1

2

（CN+BC-BM）=

1

2

（AC+BC-AB），解答正确一种即可     

点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是作辅助线转化成三角形的中位线．