如图,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,A点的坐标为(3,0),以0A为边作等边三角形OAB,点B在第一象限,过点B作AB的垂线交x轴于点C动点P从0点出发沿0C向C点运动,动点Q从B点出发沿BA向A点运动,P,Q两点同时出发,速度均为1个单位/秒.设运动时间为t秒.
(1)求线段BC的长;
(2)连接PQ交线段OB于点E,过点E作x轴的平行线交线段BC于点F.设线段EF的长为m,求m与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围:
(3)在(2)的条件下,将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上,点F的对应点是F1,E1F1交x轴于点G,连接PF、QG,当t为何值时,2BQ-PF=QG?
分析:(1)由△AOB为等边三角形得∠ACB=∠OBC=30°, 由此CO=OB=AB=OA=3,在RT△ABC中,AC为6,从而BC= (2)过点Q作QN∥0B交x轴于点N,先证△AQN为等边三角形,从而NQ=NA=AQ=3-t,NON=3-(3-t)=t PN=t+t=2t,再由△POE∽△PNQ后对应边成比例计算得再由EF=BE易得出m与t之间的函数关系式 (3)先证△AE’G为等边三角形,再证∠QGA=90° 通过两边成比例夹角相等得△FCP∽△BCA再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通过解方程求出 解答:(1)解:图l∵△AOB为等边三角形 ∴∠BAC=∠AOB=60. ∵BC⊥AB∴∠ABC=90° ∴∠ACB=30°∠OBC=30° ∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3 ∴AC=6 ∴BC=AC= (2)解:图l过点Q作QN∥0B交x轴于点N ∴∠QNA=∠BOA=60°=∠QAN ∴QN=QA ∴△AQN为等边三角形 ∴NQ=NA=AQ=3-t ∴NON=3-(3-t)=t ∴PN=t+t=2t ∴OE∥QN.∴△POE∽△PNQ ∴ ∴∴ ∵EF∥x轴 ∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30° ∴EF=BE∴m=BE=OB-OE(0<t<3) (3)解:图2
∴∠AEG=600=∠EAG ∴GE1=GA ∴△AE’G为等边三角形
∴∠l=∠2 ∠3=∠4 ∵∠l+∠2+∠3+∠4=180°∴∠2+∠3=90° 即∠QGA=90° ∵EF∥OC
∵∠FCP=∠BCA ∴△FCP∽△BCA ∵2BQ-PF=QG∴∴t=1∴当t=1时,2BQ-PF=QG |
考点:等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定,一元一次方程 |
科目:初中数学 来源: 题型:
BD |
AB |
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科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源: 题型:
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x |
k |
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科目:初中数学 来源: 题型:
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