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如图,弦AB分⊙O成1:3两部分,点C是⊙O上一点(不与A、B重合),则∠ACB=
45°或135°
45°或135°
°.
分析:本题需要分当点C在优弧和劣弧上时不同的 情况分别讨论求解,由弦AB把⊙O分成1:3的两部分,根据圆弧为360°得到弧AB的度数=
1
4
×360°=90°,再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可得到∠AOB的度数利用圆周角定理和圆的内接四边形定理即可得到∠ACB的度数.
解答:解:∵弦AB把⊙O分成1:3的两部分,
∴弧AB的度数=
1
4
×360°=90°,
∴∠AOB=90°.
①当点C优弧ACB上时,∠ACB=
1
2
∠AOB=45°;
②当点C在劣弧AB上时,利用圆的内接四边形定理:对角互补可得:∠ACB=180°-45°=135°.
故答案为45°或135°.
点评:本题考查了在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外两组量也对应相等.也考查了圆心角的度数等于它所对的弧的度数以及圆周角定理、圆的内接四边形定理.
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