Question

一元二次方程一般形式：ax²+bx+c=0，（a≠0）两根记为x₁，x₂满足x₁₊x₂=-，x₁x₂₌，试用上述知识解决问题：设x₁、x₂是方程2x²-3x-1=0的两个实数根，求：
①x₁+x₁x₂+x₂
②+　　　　
③3x₁²-3x₁+x₂²．

Answer 1

解：∵x₁、x₂是方程2x²-3x-1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=-，2x₁²-3x₁=1，
①x₁+x₁x₂+x₂=（x₁+x₂）+x₁x₂=-=1；
②+===-3；
③3x₁²-3x₁+x₂²=2x₁²-3x₁+x₁²+x₂²=1+（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1+-（-1）=4．
分析：由x₁、x₂是方程2x²-3x-1=0的两个实数根，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，并将x=x₁代入得到一个关系式，
①将所求式子第1、3项结合，把得出的两根之和与两根之积代入即可求出值；
②将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，把得出的两根之和与两根之积代入即可求出值；
③将所求式子第1项拆项后整体代换，并利用完全平方公式变形，把得出的两根之和与两根之积代入即可求出值．
点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），若方程有解时，设方程的两解分别为x₁、x₂，则有x₁+x₂=-，x₁x₂=．