Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．

(1)证明：CE=CF；

(2)如图（2），连接BF，若∠ABC=60°，BC=2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）矩形，理由见解析

【解析】

（1）利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出∠BAF＝∠F，∠DAF＝∠CEF，进而得出答案；

（2）利用等边三角形的判定方法得出△ABE是等边三角形，进而得出△ABE≌△FCE（ASA），即可得出AB＝FC，进而结合矩形的判定方法求出即可．

（1）∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAF＝∠DAF，

∵在平行四边形ABCD中，

∴AB∥DF，AD∥BC，

∴∠BAF＝∠F，∠DAF＝∠CEF，

∴∠F＝∠DAF＝∠CEF，

∴CE＝FC；

（2）解：四边形ABFC是矩形，

理由：如图（2），∵∠ABC=60°，AD∥BC，

∴∠BAD＝120°，

∵∠BAF＝∠DAF，

∴∠BAF＝60°，

则△ABE是等边三角形，

可得AB＝BE＝AE，∠BEA＝∠AFC＝60°，

∵BC＝2AB，

∴AE＝BE＝EC，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

在△ABE和△FCE中

∵，

∴△ABE≌△FCE（ASA），

∴AB＝FC，

又∵AB∥FC，

∴四边形ABFC是平行四边形，

再由∠BAC＝90°，

故四边形ABFC是矩形．