Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，反比例函数(k≠0，x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，连接OM、ON、MN．若∠MON=45°，MN=2，则k的值为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

由反比例函数（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，易证得CN=AM，即可得△OAN≌△OAM，可得ON=OM，然后设作NE⊥OM于E点，易得△ONE为等腰直角三角形，设NE=x，则ON=x，由勾股定理可求得x的值，继而可设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-，则可得到点N的坐标，继而求得答案．

解：∵点M、N都在的图象上，
∴S△ONC=S△OAM=k，即OCNC=OAAM，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
在△OCN和△OAM中，
，
∴△OCN≌△OAM（SAS）；
∴ON=OM，
作NE⊥OM于E点，如图，
∵∠MON=45°，
∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE=OE，
设NE=x，则ON=x，
∴OM=x，
∴EM=x-x=（-1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（-1）x]2，
∴x2=2+，

∴ON2=（x）2=4+2，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，/span>
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴BN=MN=，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-，
∵在Rt△OCN中，OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a-）2=4+2，
解得a1=+1，a2=-1（舍去），
∴OC=+1，
∴BC=OC=+1，
∴CN=BC-BN=1，
∴N点坐标为（1， +1），
将点N代入反比例函数，得：k=+1．
故答案为+1．